Standardabweichung berechnen (σ und s)
Berechne Standardabweichung und Varianz für Population und Stichprobe. Misst, wie stark deine Werte um den Mittelwert streuen.
Erklärung
Die Standardabweichung misst, wie stark einzelne Werte vom Mittelwert abweichen. Eine kleine Standardabweichung bedeutet: Die Werte liegen dicht beieinander. Eine große: Sie streuen weit. Die Einheit ist dieselbe wie die der Daten – das macht σ anschaulicher als die Varianz. Unterscheidung Population vs. Stichprobe: - Population (σ): Wenn die gesamte Grundgesamtheit erfasst ist. Teiler n. - Stichprobe (s): Wenn nur eine Stichprobe vorliegt und auf die Population geschlossen werden soll. Teiler n−1 (Bessel-Korrektur). Warum n−1 bei der Stichprobe? Weil der Mittelwert aus den Daten geschätzt wurde – das verbraucht einen Freiheitsgrad. Sonst würde die Streuung systematisch unterschätzt. Beispielrechnung mit 10, 12, 14, 16, 18: - Mittelwert = 14 - Quadrierte Abweichungen: 16, 4, 0, 4, 16 → Summe 40 - Varianz Population = 40/5 = 8 → σ = √8 ≈ 2,83 - Varianz Stichprobe = 40/4 = 10 → s = √10 ≈ 3,16 In einer Normalverteilung liegen rund 68 % aller Werte im Bereich Mittelwert ± 1·σ, rund 95 % im Bereich ± 2·σ und 99,7 % im Bereich ± 3·σ. Diese Faustregel (68-95-99,7-Regel) ist der Schlüssel zu Konfidenzintervallen und Hypothesentests. Anwendungen: Qualitätskontrolle (Toleranzen), Risikoanalyse (Volatilität an Börsen), Prüfungsstatistik, Klimadaten, Sportstatistik, Six-Sigma-Methode in der Produktion (Ziel: 6 σ Abstand zur Toleranzgrenze).
Häufige Fragen
Wann nehme ich σ, wann s? +
Vollständige Population → σ (Teiler n). Stichprobe als Schätzung für die Population → s (Teiler n−1).
Was bedeutet eine Standardabweichung von 0? +
Alle Werte sind identisch – keine Streuung. Sobald sich Werte unterscheiden, ist σ > 0.
Was ist die 68-95-99,7-Regel? +
In einer Normalverteilung liegen 68 % der Werte innerhalb 1σ, 95 % innerhalb 2σ und 99,7 % innerhalb 3σ um den Mittelwert.
Was ist der Unterschied zur Varianz? +
Varianz = σ². Standardabweichung = √Varianz. Die Standardabweichung hat die Einheit der Daten und ist deshalb anschaulicher.
Wofür Standardabweichung im Alltag? +
Risikobewertung (Aktien), Qualitätsprüfung (Toleranzen), Notenanalyse, Wettervorhersage, Prozesskontrolle in der Industrie.