Binomialkoeffizient: n über k
Berechne den Binomialkoeffizienten 'n über k': Auf wie viele Arten lassen sich k Objekte aus n auswählen, ohne Reihenfolge?
Erklärung
Der Binomialkoeffizient 'n über k' gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, k Objekte aus einer Menge von n Objekten auszuwählen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt. Formel: C(n, k) = n! / (k! · (n−k)!). Klassisches Beispiel: Lotto 6 aus 49. C(49, 6) = 13.983.816 – so viele verschiedene Tipps gibt es. Die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige ist also 1/13.983.816, etwa 1 zu 14 Millionen. Wichtige Eigenschaften: C(n, 0) = C(n, n) = 1. C(n, 1) = n. Symmetrie: C(n, k) = C(n, n−k) – ob ich k auswähle oder n−k weglasse, ist gleich viel. Daraus folgt z.B. C(49, 43) = C(49, 6). Das Pascal-Dreieck zeigt die Binomialkoeffizienten in Zeile-Spalten-Form: Jede Zahl ist die Summe der beiden darüber. Die Rekursion C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k) erlaubt schnelle Berechnung ohne große Fakultäten. Weitere Anwendungen: Binomische Formel (a+b)^n = Σ C(n,k)·a^(n−k)·b^k, Wahrscheinlichkeiten beim mehrfachen Münzwurf (k-mal Kopf bei n Würfen), Auswahl von Komitees, Stichprobenziehung in der Statistik, Anzahl der Pfade in einem Gitter, viele kombinatorische Probleme der Informatik (Anzahl Teilmengen einer bestimmten Größe).
Häufige Fragen
Wann ist die Reihenfolge egal? +
Wenn die ausgewählten Elemente eine Menge bilden – nicht aber wenn sie eine Reihenfolge oder Position haben. Lotto: egal. Podestplätze: nicht egal.
Wie groß ist der Binomialkoeffizient maximal? +
Maximum bei k ≈ n/2. C(n, n/2) wächst sehr schnell mit n – C(50, 25) liegt bei rund 1,26·10^14.
Was ist der Unterschied zu Permutationen? +
Permutationen unterscheiden Reihenfolgen, Kombinationen nicht. P(n,k) = k! · C(n,k).
Warum Pascal-Dreieck? +
Weil jede Zeile die Binomialkoeffizienten C(n, k) für festes n enthält und durch einfache Addition erzeugt werden kann.
Wie wahrscheinlich sind 6 Richtige im Lotto? +
1 / C(49, 6) = 1 / 13.983.816 ≈ 0,000007 % – etwa 1 zu 14 Millionen pro Tipp.