Fakultät berechnen: n!
Berechne n! – das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n. Grundbaustein der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit.
Erklärung
Die Fakultät n! ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n. Beispiele: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 10! = 3.628.800. Der Wert wächst extrem schnell – schon 20! hat 19 Stellen. Per Definition gilt 0! = 1. Das wirkt seltsam, ist aber notwendig, damit alle Formeln der Kombinatorik konsistent funktionieren (z.B. der Binomialkoeffizient n über 0 = 1). Die Fakultät beantwortet die Grundfrage der Kombinatorik: Auf wie viele verschiedene Arten kann ich n unterschiedliche Objekte anordnen? Antwort: n!. Beispiel: 5 Bücher im Regal lassen sich auf 5! = 120 verschiedene Arten anordnen. 10 Pferde im Rennen können auf 10! ≈ 3,6 Mio. Reihenfolgen ins Ziel kommen. Daraus leiten sich weitere Formeln ab: Permutationen ohne Wiederholung n!/(n−k)!, Kombinationen n!/(k!·(n−k)!), Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Auch die Eulersche Zahl e lässt sich über Fakultäten definieren: e = Σ 1/n! für n von 0 bis ∞. Grenzen: 170! ≈ 7,3·10^306 ist die größte Fakultät, die noch in einem 64-Bit Floating-Point-Format darstellbar ist. Darüber hinaus brauchen wir Big-Integer-Arithmetik oder die Stirling-Formel n! ≈ √(2πn) · (n/e)^n als Näherung.
Häufige Fragen
Warum ist 0! = 1? +
Konvention, damit Formeln konsistent bleiben. Außerdem gibt es genau eine Möglichkeit, kein Objekt anzuordnen – nämlich gar nichts.
Wie schnell wächst die Fakultät? +
Schneller als jede Exponentialfunktion. 10! ist über 3,6 Mio., 20! liegt bei 2,4·10^18, 70! sprengt schon den 64-Bit Float-Bereich.
Wofür braucht man Fakultäten? +
Anordnungen (Permutationen) und Auswahlen (Kombinationen) zählen. Beispiel: Lottozahlen, Sitzordnungen, Passwortstärke.
Gibt es Fakultäten für nicht ganze Zahlen? +
Ja, über die Gamma-Funktion: Γ(n+1) = n!. Für reelle und sogar komplexe Argumente definiert.
Was ist die Stirling-Formel? +
Eine sehr gute Näherung: n! ≈ √(2πn) · (n/e)^n. Wird verwendet, wenn n zu groß für direkte Berechnung ist.