Kombinationen berechnen: n über k
Wie viele Auswahlen von k aus n Elementen sind möglich, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt? C(n, k) – der Binomialkoeffizient.
Erklärung
Eine Kombination ist eine Auswahl von Elementen ohne Beachtung der Reihenfolge. Es zählt nur, welche Elemente ausgewählt wurden – nicht in welcher Folge. Die Anzahl der Möglichkeiten ist der Binomialkoeffizient C(n, k) = n! / (k! · (n−k)!). Klassisches Beispiel Lotto: 6 aus 49. C(49, 6) = 13.983.816 – über 13 Millionen verschiedene Tipps. Kombinationen mit Wiederholung: Wenn ein Element mehrfach gezogen werden darf, gilt C(n+k−1, k). Beispiel: 3 Eiskugeln aus 5 Sorten (mit Wiederholung): C(7, 3) = 35. Vergleich zu Permutationen: P(n, k) berücksichtigt Reihenfolge, C(n, k) nicht. Es gilt P(n, k) = k! · C(n, k). Ein Beispiel: Aus 10 Personen werden 3 für ein Komitee ausgewählt – C(10, 3) = 120 Möglichkeiten. Werden dieselben 3 Personen aber in eine Rangfolge (Vorsitz, Stellvertreter, Schriftführer) gebracht, gibt es P(10, 3) = 720 Möglichkeiten. Wichtige Eigenschaften: - C(n, 0) = C(n, n) = 1 - C(n, 1) = n - C(n, k) = C(n, n−k) (Symmetrie) - Pascal-Dreieck: C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k) Anwendungen: - Lotto, Kartenspiele, Sportwetten - Auswahl von Komitees, Teams, Stichproben - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Statistik (Stichprobenziehung) - Kryptografie - Bioinformatik (Sequenzauswahl) - Kombinatorische Optimierung (z.B. Auswahlprobleme in Logistik) Im Pokerspiel z.B.: Wie viele 5-Karten-Hände gibt es? C(52, 5) = 2.598.960. Wahrscheinlichkeit für ein Straight Flush: 40/2.598.960 ≈ 0,00154 %.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zur Permutation? +
Bei Permutationen zählt die Reihenfolge, bei Kombinationen nicht. C(n, k) ist immer ≤ P(n, k).
Was bedeutet 'n über k'? +
Die Schreibweise C(n, k) für 'aus n Elementen k auswählen, ohne Reihenfolge'. Ist gleich dem Binomialkoeffizienten.
Wann mit, wann ohne Wiederholung? +
Ohne: Jedes Element höchstens einmal (Lotto). Mit: Elemente dürfen mehrfach gezogen werden (Eiskugel-Auswahl).
Wie wahrscheinlich sind 6 Richtige im Lotto? +
1 / C(49, 6) = 1/13.983.816 ≈ 0,000007 %.
Wofür Kombinationen im Alltag? +
Lotto, Wahrscheinlichkeiten, Stichproben, Kartenspiele, Komitee-Bildung, Auswahlentscheidungen.