Binomialverteilung: P(X = k)
Berechne die Binomialverteilung: Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge in n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p.
Erklärung
Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge bei n unabhängigen Versuchen, wenn jeder Versuch nur zwei Ausgänge hat (Erfolg/Misserfolg) und die Erfolgswahrscheinlichkeit p in jedem Versuch gleich ist. X heißt dann B(n, p)-verteilt. Formel: P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1−p)^(n−k). Sprich: Anzahl Möglichkeiten für k Erfolge mal Wahrscheinlichkeit für genau diese Folge. Beispiel: 10 Mal Münze werfen. Wie wahrscheinlich sind genau 3 Mal Kopf? n = 10, k = 3, p = 0,5. P(X = 3) = C(10, 3) · 0,5³ · 0,5⁷ = 120 · 1/8 · 1/128 = 120/1024 ≈ 11,72 %. Wichtige Größen: - Erwartungswert E(X) = n·p - Varianz Var(X) = n·p·(1−p) - Standardabweichung σ = √(n·p·(1−p)) Für 'mindestens k' oder 'höchstens k' werden mehrere Wahrscheinlichkeiten aufaddiert (kumulierte Verteilung). P(X ≤ k) ist die Verteilungsfunktion, P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Anwendungen: Qualitätskontrolle (wie viele defekte Teile in einer Stichprobe?), Wahlumfragen, Genetik (Vererbung), klinische Studien (Heilungsraten), Glücksspiel, Spam-Filter, Klausuraufgaben (Multiple Choice). Für große n und kleine p nähert sich die Binomialverteilung der Poisson-Verteilung mit λ = n·p. Für moderates p und großes n nähert sie sich (mit Stetigkeitskorrektur) der Normalverteilung mit μ = n·p und σ² = n·p·(1−p) – diese Normalapproximation erleichtert das Rechnen mit großen n erheblich.
Häufige Fragen
Wann ist X binomialverteilt? +
Wenn n unabhängige Versuche mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit p durchgeführt werden und nur Erfolg/Misserfolg unterschieden wird (Bernoulli-Kette).
Was ist der Unterschied zwischen P(X=k) und P(X≤k)? +
P(X=k) ist die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge. P(X≤k) summiert alle Wahrscheinlichkeiten von 0 bis k ('höchstens k').
Wie groß ist der Erwartungswert? +
E(X) = n·p. Bei 10 Münzwürfen mit p = 0,5 erwartet man 5 Mal Kopf.
Wann darf ich mit Normalverteilung approximieren? +
Faustregel: n·p > 5 und n·(1−p) > 5. Dann ist die Normalapproximation gut genug. Mit Stetigkeitskorrektur ±0,5 noch besser.
Was tun bei sehr kleinem p und großem n? +
Dann ist die Poisson-Verteilung mit λ = n·p eine gute Näherung – z.B. seltene Ereignisse wie Druckfehler pro Buch.