Exponentialfunktion berechnen: a^x und e^x
Berechne den Exponentialterm a^x – Basis hoch Exponent. Mit Sonderfall e^x für die natürliche Exponentialfunktion.
Erklärung
Die Exponentialfunktion f(x) = a^x beschreibt Vorgänge, bei denen eine Größe in gleichen Zeitabschnitten um den gleichen Faktor wächst oder schrumpft. Ist a > 1, wächst die Funktion (exponentielles Wachstum). Ist 0 < a < 1, fällt sie (exponentieller Zerfall). Ist a = 1, ist sie konstant. Eine besondere Rolle spielt die natürliche Exponentialfunktion e^x mit der eulerschen Zahl e ≈ 2,71828. Sie hat die einzigartige Eigenschaft, dass ihre Ableitung wieder e^x ist – sie ist also ihr eigener Wachstumsmotor. Genau deshalb taucht e in Wachstumsmodellen, Zinseszinsrechnung mit kontinuierlicher Verzinsung, Wahrscheinlichkeiten und in der Physik (Radioaktivität, Schwingungen, Wärme) auf. Beispiele: Verdopplung 2^10 = 1024 (Schach-Reiskorn-Legende). Bevölkerungswachstum von 2 % pro Jahr über 50 Jahre: 1,02^50 ≈ 2,69 – die Bevölkerung verdoppelt sich. Halbwertszeit: Nach n Halbwertszeiten ist nur noch (1/2)^n der ursprünglichen Menge da. Wichtige Regeln: a^x · a^y = a^(x+y); a^x / a^y = a^(x−y); (a^x)^y = a^(x·y); a^0 = 1; a^(-x) = 1/a^x. Die Umkehrung der Exponentialfunktion ist der Logarithmus.
Häufige Fragen
Was ist e^x? +
Die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis e ≈ 2,71828. Sie ist die wichtigste Funktion in höherer Mathematik, weil sie ihre eigene Ableitung ist.
Was ist exponentielles Wachstum? +
Wachstum, bei dem die Zuwachsrate proportional zum aktuellen Bestand ist. Pro Zeitabschnitt wird mit demselben Faktor multipliziert (z.B. +5 % pro Jahr).
Was ist der Unterschied zur Potenzfunktion? +
Bei a^x ist die Basis fest, der Exponent variabel (Exponentialfunktion). Bei x^a ist es umgekehrt: Basis variabel, Exponent fest (Potenzfunktion).
Wofür braucht man Exponentialfunktionen? +
Zinseszins, radioaktiver Zerfall, Bakterienwachstum, Abkühlung (Newton), Wahrscheinlichkeiten, Lautstärke und Helligkeit auf logarithmischer Skala.
Was ist a^0? +
Immer 1 (für a ≠ 0). Das ist eine Konvention, die alle Rechenregeln konsistent macht.