Logarithmus berechnen: log_b(x)
Berechne den Logarithmus einer Zahl zur Basis b: log_b(x) = y bedeutet b^y = x. Mit voreingestellten Basen 10, e und 2.
Erklärung
Der Logarithmus ist die Umkehrung der Potenz: log_b(x) = y bedeutet b^y = x. In Worten: Mit welcher Hochzahl muss ich b potenzieren, um x zu erhalten? Beispiele: log₁₀(1000) = 3, weil 10³ = 1000. log₂(8) = 3, weil 2³ = 8. ln(e) = 1, weil e¹ = e. Drei Logarithmen sind besonders wichtig: der dekadische Logarithmus zur Basis 10 (lg), der natürliche Logarithmus zur Basis e (ln) und der binäre Logarithmus zur Basis 2 (lb). Mit der Basisumrechnungsformel log_b(x) = ln(x) / ln(b) lässt sich jeder Logarithmus aus einem anderen berechnen. Logarithmen tauchen überall auf, wo Größen über viele Größenordnungen variieren: Lautstärke (Dezibel), Erdbeben (Richter-Skala), pH-Wert in der Chemie, Helligkeit von Sternen, Bevölkerungswachstum, Halbwertszeiten radioaktiver Stoffe, Zinseszins. Auch Informatik nutzt log₂ ständig: Suchalgorithmen, Heap-Höhe, Komplexität. Wichtige Regeln: log(a·b) = log(a) + log(b), log(a/b) = log(a) − log(b), log(aⁿ) = n · log(a). Diese Rechenregeln machten den Logarithmus historisch (vor dem Taschenrechner) zur wichtigsten Rechenhilfe – Multiplikationen wurden zu Additionen.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen log, ln und lg? +
lg = log₁₀ (Basis 10), ln = log_e (natürlicher Log), log ohne Index meint je nach Kontext meist 10 (in Schule/Technik) oder e (in höherer Mathematik).
Warum nicht negative Zahlen oder 0 logarithmieren? +
Es gibt keine reelle Hochzahl y, sodass b^y = 0 oder negativ wird (für b > 0). Daher ist log nur für x > 0 definiert.
Wofür braucht man Logarithmen im Alltag? +
Dezibel-Skala beim Lärm, pH-Wert, Magnitude von Erdbeben, Halbwertszeiten, Wachstumsraten, Verzinsung über lange Zeiträume.
Was ist die Logarithmus-Basisumrechnung? +
log_b(x) = ln(x) / ln(b) = log₁₀(x) / log₁₀(b). Damit lässt sich jeder Logarithmus mit dem Taschenrechner ausrechnen, auch wenn er nur ln und lg hat.
Was bedeutet ln(1) und log(1)? +
Beide sind 0. Denn b⁰ = 1 für jede Basis b > 0. Genau so ist log_b(b) immer 1.