Potenz berechnen: Basis hoch Exponent
Berechne a^n: Basis hoch Exponent. Funktioniert mit ganzzahligen, negativen und dezimalen Exponenten – inklusive Wurzeln über Bruchexponenten.
Erklärung
Eine Potenz a^n bedeutet: Die Basis a wird n-mal mit sich selbst multipliziert. Beispiel: 2^5 = 2·2·2·2·2 = 32. Für nicht ganzzahlige Exponenten greift die Definition über Wurzeln und e: a^n = e^(n·ln a). Wichtige Sonderfälle: a^0 = 1 für alle a ≠ 0. a^1 = a. a^(-n) = 1/a^n (negativer Exponent ergibt Kehrwert). a^(1/n) = ⁿ√a (Bruchexponent ergibt Wurzel). a^(m/n) = ⁿ√(a^m). Rechenregeln: a^m · a^n = a^(m+n); a^m / a^n = a^(m−n); (a^m)^n = a^(m·n); (a·b)^n = a^n · b^n; (a/b)^n = a^n / b^n. Im Alltag begegnen uns Potenzen ständig: 10er-Potenzen für Größenordnungen (10⁶ = Million), Quadratzahlen für Flächen (5 m × 5 m = 5² m²), Kubikzahlen für Volumen (3³ = 27 cm³ Würfel), 2er-Potenzen in der Informatik (256 = 2^8 = 1 Byte), Wachstumsfaktoren in der Finanzwelt, Lautstärke und Erdbeben. Auch wissenschaftliche Notation (1,5 · 10^11 m für die Sonnenentfernung) wäre ohne Potenzen unhandlich. Besonderheit: 0^0 ist mathematisch umstritten – meist wird 0^0 = 1 gesetzt (Konvention), in der Analysis bleibt es undefiniert. Negative Basis mit nicht ganzzahligem Exponenten führt aus dem Reellen heraus: (−2)^0,5 ist keine reelle Zahl.
Häufige Fragen
Was bedeutet ein negativer Exponent? +
Den Kehrwert. a^(-n) = 1 / a^n. Beispiel: 2^(-3) = 1/8 = 0,125.
Was ergibt a^0? +
1 (für a ≠ 0). Das passt zur Regel a^m / a^m = a^(m-m) = a^0 = 1.
Wie hängen Potenzen und Wurzeln zusammen? +
Eine Wurzel ist eine Potenz mit Bruchexponent: ⁿ√a = a^(1/n). Dritte Wurzel aus 8 = 8^(1/3) = 2.
Kann die Basis negativ sein? +
Bei ganzzahligen Exponenten ja: (−2)^3 = −8. Bei nicht ganzzahligen Exponenten nicht ohne Weiteres im Reellen – das wäre eine komplexe Zahl.
Was ist mit sehr großen Exponenten? +
Schnell wird das Ergebnis riesig (oder winzig). Computer geben dann Infinity oder 0 aus, weil die Zahl außerhalb des darstellbaren Bereichs liegt.