Quadratische Gleichung lösen (pq- & abc-Formel)
Berechne die Nullstellen einer quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0 – inklusive Diskriminante, beider Lösungen und Sonderfälle.
Erklärung
Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0. Sie kann keine, eine oder zwei reelle Lösungen besitzen – je nach Vorzeichen der Diskriminante D = b² − 4ac. Ist D > 0, gibt es zwei verschiedene Lösungen; ist D = 0, eine doppelte Lösung; ist D < 0, keine reelle Lösung (nur komplexe). Die abc-Formel (auch Mitternachtsformel genannt) lautet: x = (−b ± √D) / (2a). Eine alternative Form ist die pq-Formel für x² + px + q = 0: x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Bei der pq-Formel muss der Koeffizient vor x² zuerst zu 1 gemacht werden (durch Division durch a). Beispiel: x² − 3x + 2 = 0. Hier ist a = 1, b = −3, c = 2. D = 9 − 8 = 1. x = (3 ± 1)/2, also x₁ = 2 und x₂ = 1. Probe: 4 − 6 + 2 = 0 und 1 − 3 + 2 = 0. Beides stimmt. Quadratische Gleichungen treten überall auf: Wurfparabeln in der Physik, Optimierungsaufgaben (maximaler Flächeninhalt bei festem Umfang), Brems- und Beschleunigungsweg, Zinseszinsrechnung über zwei Perioden, Wirtschaftsmodelle (Kosten- und Erlösfunktionen). Auch der Goldene Schnitt ist Lösung einer quadratischen Gleichung.
Häufige Fragen
Was ist die Diskriminante? +
Der Term unter der Wurzel: D = b² − 4ac. Sie zeigt, wie viele Lösungen es gibt: D > 0 zwei, D = 0 eine, D < 0 keine reelle.
Was ist der Unterschied zwischen pq- und abc-Formel? +
Die abc-Formel funktioniert direkt für ax² + bx + c = 0. Die pq-Formel verlangt die Normalform x² + px + q = 0 (also a = 1).
Was tun bei negativer Diskriminante? +
Es gibt keine reelle Lösung – die Parabel schneidet die x-Achse nicht. Im komplexen Bereich existieren zwei konjugiert komplexe Lösungen.
Kann ich quadratische Gleichungen auch durch Faktorisieren lösen? +
Ja, wenn ganzzahlige Lösungen vorliegen. Beispiel: x² − 3x + 2 = (x−1)(x−2) → x = 1 oder x = 2.
Was ist die quadratische Ergänzung? +
Eine Methode, um die Gleichung in die Scheitelpunktform zu bringen und so die Lösungen zu finden – oft Grundlage der Herleitung der pq-Formel.